Calcolatore Black-Scholes

Cos'è un calcolatore di pricing delle opzioni Black-Scholes?

Un calcolatore di pricing delle opzioni Black-Scholes è uno strumento che calcola il valore teorico equo di un'opzione call e put europea a partire da cinque input, usando il modello Black-Scholes: il prezzo spot del sottostante, il prezzo di esercizio (strike), il tempo alla scadenza, la volatilità e il tasso di interesse privo di rischio. Il modello Black-Scholes è la formula in forma chiusa che trasforma questi input in un unico prezzo teorico, il valore che un'opzione dovrebbe avere oggi secondo le assunzioni del modello. È stato pubblicato nel 1973 da Fischer Black e Myron Scholes nel loro paper "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", con il framework esteso lo stesso anno da Robert Merton, un lavoro premiato con il Premio Nobel per l'Economia 1997, assegnato a Scholes e Merton dato che Black era scomparso nel 1995. La versione che aggiunge un rendimento da dividendo continuo è spesso chiamata modello Black-Scholes-Merton. Insieme ai due prezzi, il calcolatore restituisce le cinque greche dell'opzione, le sensibilità che mostrano come reagisce il prezzo quando ciascun input si muove: è per questo che un singolo contratto europeo, nel trading di opzioni, produce sette output in un solo passaggio invece di uno.

Perché il calcolatore Black-Scholes è importante per il trading?

Il calcolatore Black-Scholes è importante per il trading perché fornisce al trader il valore teorico equo e la sensibilità al rischio di un'opzione prima di comprarla o venderla, così trasformi un premio quotato in qualcosa che puoi valutare, invece di doverlo accettare e basta. Il prezzo di un'opzione non è ovvio a partire dal solo sottostante: racchiude in un unico numero lo spot, lo strike, il tempo residuo, la volatilità e il tasso di interesse, e senza un modello non c'è modo di capire se il premio sullo schermo sia economico o costoso rispetto al valore equo. Prezzando il contratto a partire da questi cinque input, il calcolatore risponde alla domanda che conta nel momento della decisione, cioè se il mercato sta chiedendo un prezzo equo per il rischio che stai per assumerti. I trader lo usano prima di piazzare l'ordine: per confrontare una quotazione di mercato in tempo reale con il prezzo teorico, per vedere come reagirebbe il valore se volatilità, tempo o tassi si muovessero, e per capire le greche che guideranno la posizione una volta che la possiedono. Leggere prima il valore equo è la stessa prudenza nella gestione del rischio che il trading online responsabile richiede per qualsiasi strumento a leva.

Come si usa il calcolatore Black-Scholes?

Per usare il calcolatore Black-Scholes, inserisci il prezzo spot, il prezzo di esercizio, i giorni alla scadenza, la volatilità e il tasso privo di rischio, e lo strumento restituisce il prezzo teorico di call e put insieme alle cinque greche.

I passaggi per usare il calcolatore Black-Scholes sono elencati di seguito:

1. Inserisci il prezzo spot. È il prezzo di mercato attuale dell'azione o dell'indice sottostante, indicato nella formula come S.
2. Inserisci il prezzo di esercizio. È il prezzo al quale l'opzione può essere esercitata, indicato come K, ed è il riferimento rispetto al quale viene misurato lo spot.
3. Imposta i giorni alla scadenza. È il numero di giorni di calendario rimanenti prima che l'opzione scada, che lo strumento converte in una frazione di anno.
4. Inserisci la volatilità. È la volatilità annualizzata attesa del sottostante, espressa in percentuale, di solito la volatilità implicita che il mercato sta prezzando.
5. Inserisci il tasso privo di rischio. È il tasso di interesse annuo su un'attività sicura come un titolo di Stato a breve termine, inserito in percentuale.

In Avanzate, puoi aggiungere un rendimento da dividendo per un'azione o un indice che paga dividendi, cambiare la convenzione dei giorni tra 365 giorni di calendario e 252 giorni di negoziazione, e impostare la valuta; non c'è un selettore call o put perché lo strumento prezza entrambe contemporaneamente e ricalcola ogni output quando premi Calcola.

Quale formula usa il calcolatore Black-Scholes?

Il calcolatore Black-Scholes usa la formula Black-Scholes, che prezza una call e una put a partire da due termini intermedi, d1 e d2, passati attraverso la distribuzione normale cumulata e combinati con lo spot e lo strike scontati.

In queste formule, S è il prezzo spot, K è il prezzo di esercizio, T è il tempo alla scadenza in anni (giorni diviso la convenzione), σ (sigma) è la volatilità, r è il tasso privo di rischio, e q è il rendimento da dividendo; N() è la distribuzione normale cumulata, quindi N(d2) è, in modo approssimativo, la probabilità neutrale al rischio che la call finisca in-the-money. Sostituendo i valori del caso at-the-money a un anno, d1 = [ln(100/100) + (0,05 − 0 + 0,20²/2) × 1] / (0,20 × √1) = 0,35. Poiché un browser non ha tavole di probabilità, il calcolatore calcola N(d) con un'approssimazione polinomiale standard (Abramowitz e Stegun 26,2.17), accurata a meno di una parte su dieci milioni. La formula è valida solo per un'opzione europea e presuppone che volatilità e tasso di interesse restino costanti per tutta la vita dell'opzione.

Qual è un esempio di calcolo Black-Scholes?

Un esempio di calcolo Black-Scholes è una call at-the-money a un anno che vale $10,45, calcolata come segue:

1. d1 e d2. Con spot $100, strike $100, un anno, 20% di volatilità e un tasso del 5%, T = 1 e σ√T = 0,20, quindi d1 = (0 + (0,05 + 0,02) × 1) / 0,20 = 0,35 e d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15.
2. Probabilità normali. N(0,35) = 0,6368 e N(0,15) = 0,5596, e il fattore di sconto è e^(−0,05) = 0,9512.
3. Prezzo della call = 100 × 0,6368 − 100 × 0,9512 × 0,5596 = 63,68 − 53,23 = $10,45.
4. Prezzo della put = $5,57, che deriva dalla put-call parity, Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT).

Lo scenario è un'opzione europea con strike at-the-money e senza dividendo, e il calcolatore restituisce $10,45 per la call e $5,57 per la put, gli stessi due valori che il calcolo manuale dell'esempio produce.

Come si legge il risultato del calcolatore Black-Scholes?

Leggi il risultato del calcolatore Black-Scholes osservando il prezzo di call e put fianco a fianco e poi controllando la moneyness, il rapporto tra spot e strike (S/K), e il delta, che insieme ti dicono dove si posiziona l'opzione e come si comporterà. La moneyness decide quanto del prezzo è valore intrinseco reale e quanto è valore temporale, mentre il delta ti dice quanto strettamente l'opzione segue il sottostante.

Nell'esempio at-the-money il delta di +0,6368 significa che la call guadagna circa $0,64 per ogni $1 di rialzo del sottostante, il tratto distintivo di un'opzione con strike vicino al prezzo corrente. Qualunque sia la moneyness, una regola vale sempre: il theta costa denaro all'acquirente ogni giorno, circa $0,0176 al giorno su questa call, perché il tempo lavora contro chi possiede l'opzione. Leggi il risultato come una fotografia del valore equo e del comportamento attuale, poi confrontalo con la quotazione di mercato prima di piazzare l'operazione.

Come influisce la volatilità su un calcolo Black-Scholes?

La volatilità influisce direttamente su un calcolo Black-Scholes perché una volatilità più alta fa salire sia il prezzo della call sia quello della put, ed è l'input a cui il prezzo è più sensibile, misurato dalla greca vega. Più volatilità significa un intervallo più ampio di esiti possibili per il sottostante, quindi una probabilità maggiore che l'opzione finisca in-the-money, il che vale di più per chi detiene sia una call sia una put. È anche l'unico input che non puoi semplicemente consultare: spot, strike, tempo e tasso sono tutti osservabili, ma la volatilità è una previsione. I trader normalmente usano la volatilità implicita che il mercato sta già prezzando in quell'opzione, invece della volatilità storica che il sottostante ha mostrato in passato, perché la volatilità implicita riflette ciò che il mercato si aspetta in futuro. Questo è ciò che rende la volatilità l'input decisivo del pricing delle opzioni: un piccolo cambiamento nel valore che inserisci sposta il prezzo teorico più di un cambiamento equivalente in qualsiasi altro campo, quindi una stima onesta della volatilità di mercato conta più qui che in qualsiasi altro punto del modello.

Quali sono i limiti del calcolatore Black-Scholes?

Il limite principale del calcolatore Black-Scholes è che produce una stima teorica, non un prezzo di mercato, e quella stima vale quanto la volatilità che le fornisci. Il modello prezza un'opzione pulita e idealizzata, quindi diverse caratteristiche di un mercato reale restano fuori. Ignora lo spread bid-ask, quindi non negozi mai realmente al singolo valore equo che riporta. Presuppone una volatilità costante su ogni strike, cosa che i mercati reali smentiscono con il volatility skew o smile, dove la volatilità implicita differisce per strike e scadenza, uno scostamento ben documentato trattato nel libro di Hull "Options, Futures, and Other Derivatives". Tratta i dividendi come un rendimento continuo e uniforme invece dei dividendi discreti che vengono effettivamente pagati in date precise. E prezza solo opzioni europee, quelle esercitabili solo alla scadenza, quindi non cattura il valore dell'esercizio anticipato delle opzioni americane comuni sulle singole azioni statunitensi, che vengono prezzate invece con alberi binomiali, il metodo introdotto da Cox, Ross e Rubinstein nel 1979. Presuppone anche un tasso di interesse costante e non dice nulla su se un'operazione sia una buona idea. Tratta il risultato come un valore di riferimento ben fondato con cui confrontare una quotazione, non come una garanzia di quanto pagherai o riceverai, e ricorda che è un'informazione educativa, non una consulenza di investimento.

Come calcola il calcolatore Black-Scholes le cinque greche dell'opzione?

Il calcolatore Black-Scholes calcola le cinque greche dell'opzione, delta, gamma, theta, vega e rho, ciascuna delle quali misura come reagisce il prezzo dell'opzione quando un input si muove mentre gli altri restano fissi. Sono la caratteristica multi-output che distingue il calcolatore, e leggerle ti dice come si comporterà la posizione una volta che la possiedi.

Leggile come sensibilità. Il delta vicino a 0,5 segnala un'opzione at-the-money e sale verso 1 man mano che una call va in-the-money; il gamma misura quanto velocemente cambia quel delta, quindi è massimo vicino allo strike e vicino alla scadenza. Il theta è il costo giornaliero del decadimento temporale, che accelera avvicinandosi alla scadenza, mentre il vega mostra che un rialzo di 1 punto della volatilità implicita aggiunge circa $0,38 a questa opzione, confermando la volatilità come la leva più grande sul prezzo. Il rho è di solito la più piccola delle cinque e conta di più per le opzioni a lunga scadenza. Gamma e vega sono identici per la call e la put, mentre delta, theta e rho hanno segni opposti su ciascuna gamba, motivo per cui il calcolatore mostra entrambe.

Qual è la differenza tra un calcolo Black-Scholes e un calcolo di profitto sulle opzioni?

Un calcolo Black-Scholes differisce da un calcolo di profitto sulle opzioni per cosa misura e per quando: un calcolo Black-Scholes dà il valore teorico equo di un'opzione adesso, prima della scadenza, guidato da volatilità, tempo e tassi, mentre un calcolo di profitto sulle opzioni dà il profitto o la perdita di una posizione alla scadenza, guidato solo da dove finisce il sottostante rispetto allo strike.

La differenza pratica è che i due strumenti rispondono a domande diverse e restituiscono numeri diversi per la stessa opzione. Black-Scholes ti dice quanto dovrebbe valere oggi il contratto così puoi valutare il suo premio quotato, mentre un calcolo di profitto sulle opzioni ti dice quanto guadagnerebbe o perderebbe una posizione se il sottostante raggiungesse un dato prezzo alla scadenza. Usi questo calcolatore per prezzare l'opzione prima di aprire l'operazione, e un calcolatore di profitto per mappare il payoff quando stai valutando l'uscita.

Quali calcolatori sono correlati al calcolatore Black-Scholes?

I calcolatori correlati al calcolatore Black-Scholes si trovano nello stesso flusso di pricing e profitto delle opzioni, dal valore equo di un contratto prima della scadenza al profitto o alla perdita che lascia una volta chiusa la posizione.

I calcolatori correlati al calcolatore Black-Scholes sono elencati di seguito:

• Calcolatore di profitto sulle opzioni: calcola il profitto o la perdita alla scadenza di una posizione in opzioni, il lato payoff che questo strumento di pricing lascia fuori.
• Calcolatore covered call: modella la strategia di reddito che consiste nel detenere il sottostante e vendere una call contro di esso, un primo passo comune nelle opzioni.
• Calcolatore di profitto sulle azioni: calcola il profitto o la perdita sulle azioni sottostanti stesse, senza la leva che aggiunge un'opzione.
• Calcolatore di guadagno percentuale: esprime un risultato come rendimento percentuale, utile per confrontare l'esito di un'opzione con il premio rischiato.

FAQ

Questo strumento è a scopo educativo, non una consulenza finanziaria. Il modello Black-Scholes fornisce un prezzo teorico per un'opzione europea, e i prezzi reali di mercato differiscono a causa dello spread bid-ask, del volatility skew, dei dividendi discreti e dell'esercizio anticipato. Il trading di opzioni comporta un rischio elevato di perdere denaro, incluso l'intero premio pagato.